若b≠0，則a//b的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

若設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有x1y2=x2y1。即與平行概念相同x1y2 - x2y1=0

零向量0平行于任何向量。

a⊥b的充要條件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一基底。

定比分點(diǎn)公式（向量P1P=λ·向量PP2）

設(shè)P1、P2是直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，P是直線(xiàn)上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)任意實(shí)數(shù) λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線(xiàn)段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分點(diǎn)向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）

我們把上面的式子叫做有向線(xiàn)段P1P2的定比分點(diǎn)公式

已知0是AB所在直線(xiàn)外一點(diǎn),若OC=λOA+μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)

證明：∵OC=λOA+（1-λ）OB=λOA-λOB+OB=λBA+OB

∴BO+OC=λBA 即BC=λBA

∴A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)

在△ABC中，若GA+GB+GC=O，則G為△ABC的重心。

在△ABC中，若HA·HB=HB·HC=HC·HA，則H為△ABC的垂心。

在△ABC中，若aIA+bIB+cIC=0，且PI=（aPA+bPB+cPC）/（a+b+c），則I為△ABC的內(nèi)心。

在△ABC中，若|OA|=|OB|=|OC|，則O為△ABC的外心，

此時(shí)O滿(mǎn)足（OA+OB)·AB=（OB+OC)·BC=（OC+OA)·CA=0。

給定域F，一個(gè)F上的向量空間是一個(gè)F-模。

給定域F上的兩個(gè)向量空間V與V' ，如果存在一個(gè)φ(αu+bv)=αφ(u)+bφ(v)，a, b∈F，u,v∈V。這樣V與V' 便是同構(gòu)的。

給兩個(gè)向量空間V和W在同一個(gè)F場(chǎng)，設(shè)定由V到W的線(xiàn)性變換或“線(xiàn)性映射” . 這些由V到W的映射都有共同點(diǎn)就是它們保持總和及標(biāo)量商數(shù)。這個(gè)集合包含所有由V到W的線(xiàn)性映像，以 L（V，W） 來(lái)描述，也是一個(gè)F場(chǎng)里的向量空間。當(dāng)V及W被確定后，線(xiàn)性映射可以用矩陣來(lái)表達(dá)。同構(gòu)是一對(duì)一的一張線(xiàn)性映射。如果在V 和W之間存在同構(gòu)， 我們稱(chēng)這兩個(gè)空間為同構(gòu)；他們根本上是然后相同的。一個(gè)在F場(chǎng)的向量空間加上線(xiàn)性映像就可以構(gòu)成一個(gè)范疇，即阿貝爾范疇。

研究向量空間一般會(huì)涉及一些額外結(jié)構(gòu)。額外結(jié)構(gòu)如下：

一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)向量空間加上長(zhǎng)度概念。就是范數(shù)稱(chēng)為賦范向量空間。

一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)向量空間加上長(zhǎng)度和角度的概念，稱(chēng)為內(nèi)積空間。

一個(gè)向量空間加上拓?fù)鋵W(xué)符合運(yùn)算的（加法及標(biāo)量乘法是連續(xù)映射）稱(chēng)為拓?fù)湎蛄靠臻g。

一個(gè)向量空間加上雙線(xiàn)性算子（定義為向量乘法）是個(gè)域代數(shù)。

一個(gè)向量空間V的一個(gè)非空子集合W在加法及標(biāo)量乘法中表現(xiàn)密閉性，被稱(chēng)為V的線(xiàn)性子空間。給出一個(gè)向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱(chēng)為它的擴(kuò)張，記作span（B）。給出一個(gè)向量集合B，若它的擴(kuò)張就是向量空間V， 則稱(chēng)B為V的生成集。一個(gè)向量空間V最大的線(xiàn)性獨(dú)立子集，稱(chēng)為這個(gè)空間的基。若V=0，唯一的基是空集。對(duì)非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集。如果一個(gè)向量空間 V 擁有一個(gè)元素個(gè)數(shù)有限的生成集，那么就稱(chēng)V是一個(gè)有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數(shù)，稱(chēng)為該空間的維度。例如，實(shí)數(shù)向量空間：R0，R1，R2，R3。。。，R∞，。。。中，Rn 的維度就是n�？臻g內(nèi)的每個(gè)向量都有唯一的方法表達(dá)成基中元素的線(xiàn)性組合。把基中元素排列，向量便可以坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)呈現(xiàn)。

向量的中線(xiàn)公式

若P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則OP=1/2(OA+OB)